Exemple de p-groupe

Cela découle de la deuxième forme de l`équation de classe: pour certains éléments pas dans le centre. Soyons un groupe d`ordre où est le premier. Le problème suivant donne un autre exemple. Laissez V être un espace vectoriel de dimension n avec la base {E1, E2,…, en} et définissez VI comme étant l`espace vectoriel généré par {EI, EI + 1,…, en} pour 1 ≤ i ≤ n, et définissez VI = 0 quand je > n. En corollaire, chaque groupe de p fini est nilpotent. Shalev et indépendamment à C. Cependant, pour les n plus élevés, l`analogie devient tendue. Par le premier théorème de Sylow, il y a un sous-groupe Sylow non trivial, dont l`ordre est un pouvoir de mais alors l`ordre de tout élément non trivial est une puissance dont n`est pas une puissance qui est une contradiction. Les symboles moins fréquemment employés dans ce sens incluent $ pi $-groupe, $ sigma $-Group et $ tau $-Group.

James K. Quand est un nombre premier, alors un-groupe est un groupe, dont tous les éléments ont ordre une certaine puissance de. Depuis est non trivial et ne doit pas tous avoir l`ordre laissez être un élément non dans puis contient le centre, mais contient aussi il est donc strictement plus grand qu`un sous-groupe d`ordre la seule possibilité pour son ordre est, mais alors tout commute avec et est dans le centre; Contradiction. Groupes classés supérieurs de l`ordre 2n pour n ≤ 6 en 1964. Localement finis $p les groupes de $ sont non simples (cf. il est généré par ses éléments de l`ordre p, mais son exposant est PN. Par exemple, le groupe cyclique C4 et le Klein 4-Group v4 qui est C2 × C2 sont à la fois 2-groupes de l`ordre 4. Il y a aussi deux groupes non-abéliens. Supposons que ce n`est pas abélien.

Supposons qu`il est vrai pour tous les groupes de l`ordre < (le cas de base, le groupe trivial, est trivialement soluble. Terminologie: l`ordre d`un groupe fini est le nombre d`éléments dans le groupe. Ce sous-groupe ne doit pas être unique, mais tous les sous-groupes de cet ordre sont conjugués, et tout p-sous-groupe de G est contenu dans un sous-groupe Sylow p. Laissez G être un groupe cyclique d`ordre p généré par un élément z. Le fait est que les termes dans la somme ne peut pas égale parce que si elles ont fait, serait tout et serait donc dans le centre. Cela prouve l`autre direction de l`équivalence. Par exemple, le normaliseur N d`un sous-groupe H correct d`un p-Group G fini contient correctement H, parce que pour tout contreexemple avec H = N, le centre Z est contenu dans N, et donc aussi en H, mais il y a un exemple plus petit H/Z dont le normalisateur en G/z est N/Z = H/ Z, créant une descente infinie. Brauer a classé tous les groupes dont le Sylow 2-sous-groupes sont le produit direct de deux groupes cycliques de l`ordre 4, et Walter, Gorenstein, Bender, Suzuki, Glauberman, et d`autres ont classé ces groupes simples dont Sylow 2-sous-groupes étaient abéliens, diédriques, semidiédrique, ou Quaternion. Dans le cas contraire, les deux et sont des groupes plus petits que (depuis est non trivial par le théorème précédent), et donc doit être soluble par l`hypothèse inductive.



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